Joshua Blog

函數方程筆記

A Note on Functional Equation

函數方程簡介這份筆記介紹了一種在數學奧林匹亞競賽中經常出現的有趣題型 —— 函數方程。函數方程是一種未知數為一個或多個函數的方程。例如，考慮以下方程： \[ xf(x + f(y)) + xf(y) = 2yf(x) + x^2.\] 我們的任務是找出所有滿足該方程的函數 $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $。在這份筆記中...

Posted by Joshua on August 12, 2024

自動機與形式語言筆記

Formal Language and Automata Theory Note

簡介升大二的暑假，由於決定在大二多修一些系上的課程，但又擔心課業壓力過大，因此選擇從較多數學的理論課程開始準備。從 8 月開始預習，才逐漸完成這篇筆記，不過很多部份。目前筆記中僅完成了正規語言的部份以及少部份上下文無關文法，後面的部份因為太過於複雜，因此就沒有繼續完成。關於自動機與形式語言這門課主要在教什麼，可以參考我在修課心得中關於課程內容的簡介部份...

Posted by Joshua on August 4, 2023

分析（二）筆記

Analysis (II) Note

分析（二）筆記這篇筆記是我在 2023 年春季修分析時所作的筆記，部份內容未完成。 Analysis (II) Note This note was taken in the Analysis course in Spring 2023. If you find any inaccuracies or areas that need...

Posted by Joshua on August 4, 2023

分析期末報告: 廣義函數

Analysis Final Project: Tempered Distribution

簡介這是我在數學系所修的分析課程的期末專題報告。我們選擇的主題是溫和分佈(tempered distributions)，這是抽象調和分析(abstract harmonic analysis)的基礎概念。在這次期末專題中，我研讀了 Yosida 所著的 Functional Analysis，並撰寫了一份報告來記錄我的學習成果。可以在此連結查看報...

Posted by Joshua on June 11, 2023

線性代數（二）筆記

Linear Algebra (II) Note

線性代數（二）筆記這篇筆記是我在 2023 年寒假預習線性代數所作的筆記，如內容有誤，歡迎指正。 Linear Algebra (II) Note This note was created during the winter break of 2023 while I was previewing the upcoming sem...

Posted by Joshua on February 26, 2023

高三專題: 有界變差函數

Individual Study: Functions of Bounded Variation

簡介在我高中的第三年，我在國立清華大學數學系完成了一項獨立研究。我選擇的主題是有界變差函數，這是與黎曼積分緊密相關的概念。如需更多詳情，請查看此連結。 Introduction In my third year of high school, I completed an independent study in the math ...

Posted by Joshua on April 28, 2022

高二專題: 無處可微的連續函數

Project: Nowhere Differentiable Continuous Functions

簡介在我高二時，我和我的組員一起，在國立清華大學數學系完成了科學班的高二專題。我們選擇的主題是處處不可微的連續函數。我們學到了以下兩個定理：存在一個處處不可微的連續函數。處處不可微的函數在連續函數空間 $ C[a,b] $ 中構成一個稠密的 $ G_\delta $ 集。為了證明這兩個定理，我們需要發展一些來自數學分析的概念，這段經歷激發了我...

Posted by Joshua on September 8, 2021

重心座標筆記

A Note on Barycentric Coordinate

重心座標簡介這份筆記介紹了一個簡單但功能強大的數學工具，常用於數學奧林匹亞競賽中 —— 重心座標(barycentric coordinates)。重心座標是一種齊次座標，也就是說，$[a : b : c]$ 和 $[ka : kb : kc]$（只要 $k \neq 0$）表示的是相同的點。重心座標是以一個參考三角形為基礎定義的。假設 $\trian...

Posted by Joshua on September 4, 2021

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